Cette « coudée royale » étant un peu grande, on la divisa par deux et on l’appela « grand empan ». C’est alors qu’on s’aperçut que la valeur du grand empan moins le petit côté du triangle (1) donnait une longueur particulière qui allait se retrouver dans toutes les constructions. On l’appela Phi et on la construisit géométriquement à partir du rectangle 1-2 (voir construction du nombre d’or S2H = ).
Et grand empan = + 1.
Et l’on trouva que la coudée royale moins le grand côté du triangle avait pour valeur 2, ce qui était bien normal : coudée royale = 2 ( + 1).
Et l’on trouva par construction géométrique, que S2H’’ = – 1 avait également son intérêt.

Coïncidences :
6 coudées royales = 6x5.236 = 3.1416 = Pi.
C’est-à-dire que les Egyptiens savaient qu’il y avait un rapport entre le cercle et le triangle rectangle 1-2 (donc le carré), et qu’ils connaissaient certainement le nombre p avec une meilleure approximation que celle qu’on veut bien leur prêter. Accordons-leur 3.1416. S’ils n’en connaissaient pas la valeur arithmétique, au moins savaient-ils la construire.

Par ailleurs, se reporter au problème de la Pierre des Philosophes (quadrature du cercle) nous fera comprendre comment le monde moderne aura perdu dans sa recherche de la vérité la fraîcheur de l’approximation orientale de l’œil d’Horus (à 1/64ème près) au profit de la froide rigueur mathématique qui ignore le fameux "TRUC de turc"...

2'500 ans plus tard, chez Pythagore, on s’attacha aux nombres comme si l’univers avait été fabriqué à partir d’eux, ou s’ils étaient capables d’en donner une explication. Et cela marcha si bien que toute l'école fut éliminée, ses secrets oubliés sauf de quelques initiés qui devinrent, par la suite, poètes, alchimistes et, finalement, fran C ...

D’après la formule de Pythagore, le troisième côté d’un triangle rectangle de côtés égaux à 1 et 2, l’hypoténuse, est égal à v5.
Aujourd’hui, on sait que v5 = 2.236 et la coudée royale avait pour valeur 1+2+2.236 = 5.236 dm soit 0.5236 mètre. A des fins pédagogiques, nous prendrons comme valeur 5.236 et les choses seront vraies à un coefficient 10 près.
Remarquons toutefois que 5.236 joue avec les chiffres 2 et 3 (2+3 et 2x3), le premier pair et le premier impair, et rappelons que le nombre 6 était appelé le premier nombre parfait parce que ses diviseurs sont 1,2, et 3, et que 1+2+3=6 tout comme 1x2x3=6.

Le grand empan valait donc 5.236 : 2 = 2.618 = + 1.
Et, par conséquent, = 1.618, ce qui aurait été ignoré, nous dit-on, jusque dans les années 1200, ce dont nous pouvons douter puisque les Egyptiens, quatre mille ans plus tôt, savaient construire cette longueur très précisément avec la règle et le compas.

Comme cette longueur apparaissait dans toutes les constructions basées sur le triangle 1-2 (donc le carré Sator), notamment la Grande Pyramide, elle acquit rapidement une grande renommée, surtout si elle fut gardée secrète. Et, comme l’on n’a pas attendu le Moyen Age pour apprendre l’arithmétique, il y a là quelques zones d’ombre à clarifier, à moins que la connaissance du « nombre d’or » ne fût réservée à une élite, sous peine de bûcher. Mais de quel OR s'agissait-il?